На этом уроке мы продолжим изучение метод решения систем уравнений, а именно: метода алгебраического сложения. Вначале рассмотрим применение этого метода на примере линейных уравнений и его суть. Также вспомним, как уравнивать коэффициенты в уравнениях. И решим ряд задач на применение этого метода.
Тема: Системы уравнений
Урок: Метод алгебраического сложения
1. Метод алгебраического сложения на примере линейных систем
Рассмотрим метод алгебраического сложения на примере линейных систем.
Пример 1. Решить систему
Если мы сложим эти два уравнения, то y взаимно уничтожатся, и останется уравнение относительно x.
Если же вычтем из первого уравнения второе, взаимно уничтожатся x, и мы получим уравнение относительно y. В этом и заключается смысл метода алгебраического сложения.
Мы решили систему и вспомнили метод алгебраического сложения. Повторим его суть: мы можем складывать и вычитать уравнения, но при этом необходимо обеспечить, чтобы получилось уравнение только с одним неизвестным.
2. Метод алгебраического сложения с предварительным уравниванием коэффициентов
Пример 2. Решить систему
Член присутствует в обоих уравнениях, поэтому удобен метод алгебраического сложения. Вычтем из первого уравнения второе.
Ответ: (2; -1).
Таким образом, проанализировав систему уравнений, можно увидеть, что она удобна для метода алгебраического сложения, и применить его.
Рассмотрим еще одну линейную систему.
3. Решение нелинейных систем
Пример 3. Решить систему
Мы хотим избавиться от y, но в двух уравнениях коэффициенты при y разные. Уравняем их, для этого умножим первое уравнение на 3, второе - на 4.
Пример 4. Решить систему 
Уравняем коэффициенты при x
Можно сделать иначе - уравнять коэффициенты при y.
Мы решили систему, дважды применив метод алгебраического сложения.
Метод алгебраического сложения применим и при решении нелинейных систем.
Пример 5. Решить систему
Сложим эти уравнения, и мы избавимся от y.
Эту же систему можно решить, дважды применив метод алгебраического сложения. Сложим и вычтем из одного уравнения другое.
Пример 6. Решить систему 
Ответ:
Пример 7. Решить систему 
Методом алгебраического сложения избавимся от члена xy. Умножим первое уравнение на .
Первое уравнение остается без изменений, вместо второго записываем алгебраическую сумму.
Ответ:
Пример 8. Решить систему
Умножим второе уравнение на 2, чтобы выделить полный квадрат.
Наша задача свелась к решению четырех простейших систем.
4. Заключение
Мы рассмотрели метод алгебраического сложения на примере решения линейных и нелинейных систем. На следующем уроке рассмотрим метод введения новых переменных.
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.
2. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.
3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.
4. Алимов Ш. А., Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.
5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.
6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.
1. Раздел College. ru по математике.
2. Интернет-проект «Задачи» .
3. Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» .
1. Мордкович А. Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил. № 125 - 127.
Нужно скачать поурочный план по теме » Метод алгебраического сложения ?
Очень часто ученики затрудняются с выбором способа решения систем уравнений.
В данной статье мы рассмотрим один из способов решения систем – способ подстановки.
Если находят общее решение двух уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему. В системе уравнений каждое неизвестное обозначает одно и то же число во всех уравнениях. Чтобы показать, что данные уравнения образуют систему, их обычно записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой, например
Замечаем, что при х = 15 , а у = 5 оба уравнения системы верны. Эта пара чисел и есть решение системы уравнений. Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы.
Система может иметь одно решение (как в нашем примере), бесконечно много решений и не иметь решений.
Как же решать системы способом подстановки? Если коэффициенты при каком – нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине (если же не равны, то уравниваем), то, складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Затем решаем это уравнение. Определяем одно неизвестное. Подставляем полученное значение неизвестного в одно из уравнений системы (в первое или во второе). Находим другое неизвестное. Давайте рассмотрим на примерах применение этого способа.
Пример 1. Решите систему уравнений
Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Давайте попробуем почленно сложить уравнения системы.
Полученное значение х=4, подставляем в какое–нибудь уравнение системы (например в первое) и находим значение у:
2 *4 +у = 11, у = 11 – 8, у = 3.
Наша система имеет решение х = 4, у = 3. Или же ответ можно записать в круглых скобках, как координаты точки, на первом месте х, на втором у.
Ответ: (4; 3)
Пример 2 . Решить систему уравнений
Уравняем коэффициенты при переменной х, для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на (-2), получим
Будьте внимательны при сложении уравнений
Тогда у = - 2. Подставим в первое уравнение вместо у число (-2), получим
4х + 3(-2) = - 4. Решаем это уравнение 4х = - 4 + 6, 4х = 2, х = ½.
Ответ: (1/2; - 2)
Пример 3. Решите систему уравнений
Умножим первое уравнение на (-2)
Решаем систему
получаем 0 = - 13.
Система решений не имеет, так ка 0 не равен (-13).
Ответ: решений нет.
Пример 4. Решите систему уравнений
Замечаем, что все коэффициенты второго уравнения делятся на 3,
давайте разделим второе уравнение на три и мы получаем систему, которая состоит из двух одинаковых уравнений.
Эта система имеет бесконечно много решений, так как первое и второе уравнения одинаковы (мы получили всего одно уравнение с двумя переменными). Как же представить решение этой системы? Давайте выразим переменную у из уравнения х + у = 5. Получим у = 5 – х.
Тогда ответ запишется так: (х; 5-х), х – любое число.
Мы рассмотрели решение систем уравнений способом сложения. Если остались вопросы или что – то непонятно запишитесь на урок и мы с вами устраним все проблемы.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Метод алгебраического сложения
Решить систему уравнений с двумя неизвестными можно различными способами - графическим методом или методом замены переменной.
В этом уроке познакомимся с ещё одним способом решения систем, который Вам наверняка понравится - это способ алгебраического сложения.
А откуда вообще взялась идея - что-то складывать в системах? При решении систем главной проблемой является наличие двух переменных, ведь решать уравнения с двумя переменными мы не умеем. Значит, надо каким-либо законным способом исключить одну из них. И такими законными способами являются математические правила и свойства.
Одно из таких свойств звучит так: сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, если при одной из переменных будут противоположные коэффициенты, то их сумма будет равна нулю и нам удастся исключить эту переменную из уравнения. Понятно, что складывать только слагаемые с нужной нам переменной мы не имеем право. Складывать надо уравнения целиком, т.е. по отдельности складывают подобные слагаемые в левой части, затем в правой. В результате мы получим новое уравнение, содержащее только одну переменную. Давайте рассмотрим сказанное на конкретных примерах.
Мы видим, что в первом уравнении есть переменная у, а во втором противоположное число -у. Значит, это уравнение можно решить методом сложения.
Одно из уравнений оставляют в том виде, каком оно есть. Любое, какое Вам больше нравится.
А вот второе уравнение будет получено сложением этих двух уравнений почленно. Т.е. 3х сложим с 2х, у сложим с -у, 8 сложим с 7.
Получим систему уравнений
Второе уравнение этой системы представляет собой простое уравнение с одной переменной. Из него находим х = 3. Подставив найденное значение в первое уравнение, находим у = -1.
Ответ: (3; - 1).
Образец оформления:
Решить методом алгебраического сложения систему уравнений
В данной системе нет переменных с противоположными коэффициентами. Но мы знаем, что обе части уравнения можно умножать на одно и то же число. Давайте умножим первое уравнение системы на 2.
Тогда первое уравнение примет вид:
Теперь видим, что при переменной х есть противоположные коэффициенты. Значит, поступим так же, как и в первом примере: одно из уравнений оставим в неизменном виде. Например, 2у + 2х = 10. А второе получим сложением.
Теперь у нас система уравнений:
Легко находим из второго уравнения у = 1, а затем из первого уравнения х = 4.
Образец оформления:
Давайте подведём итоги:
Мы научились решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом алгебраического сложения. Таким образом, нам теперь известны три основных метода решения таких систем: графический, метод замены переменной и метод сложения. Практически любую систему можно решить с помощью этих способов. В более сложных случаях применяют комбинацию этих приёмов.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/ [А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007.
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008.
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011.
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010.
Очень часто ученики затрудняются с выбором способа решения систем уравнений.
В данной статье мы рассмотрим один из способов решения систем – способ подстановки.
Если находят общее решение двух уравнений, то говорят, что эти уравнения образуют систему. В системе уравнений каждое неизвестное обозначает одно и то же число во всех уравнениях. Чтобы показать, что данные уравнения образуют систему, их обычно записывают одно под другим и объединяют фигурной скобкой, например
Замечаем, что при х = 15 , а у = 5 оба уравнения системы верны. Эта пара чисел и есть решение системы уравнений. Каждая пара значений неизвестных, которая одновременно удовлетворяет обоим уравнениям системы, называется решением системы.
Система может иметь одно решение (как в нашем примере), бесконечно много решений и не иметь решений.
Как же решать системы способом подстановки? Если коэффициенты при каком – нибудь неизвестном в обоих уравнениях равны по абсолютной величине (если же не равны, то уравниваем), то, складывая оба уравнения (или вычитая одно из другого), можно получить уравнение с одним неизвестным. Затем решаем это уравнение. Определяем одно неизвестное. Подставляем полученное значение неизвестного в одно из уравнений системы (в первое или во второе). Находим другое неизвестное. Давайте рассмотрим на примерах применение этого способа.
Пример 1. Решите систему уравнений
Здесь коэффициенты при у по абсолютному значению равны между собой, но противоположны по знаку. Давайте попробуем почленно сложить уравнения системы.
Полученное значение х=4, подставляем в какое–нибудь уравнение системы (например в первое) и находим значение у:
2 *4 +у = 11, у = 11 – 8, у = 3.
Наша система имеет решение х = 4, у = 3. Или же ответ можно записать в круглых скобках, как координаты точки, на первом месте х, на втором у.
Ответ: (4; 3)
Пример 2 . Решить систему уравнений
Уравняем коэффициенты при переменной х, для этого умножим первое уравнение на 3, а второе на (-2), получим
Будьте внимательны при сложении уравнений
Тогда у = - 2. Подставим в первое уравнение вместо у число (-2), получим
4х + 3(-2) = - 4. Решаем это уравнение 4х = - 4 + 6, 4х = 2, х = ½.
Ответ: (1/2; - 2)
Пример 3. Решите систему уравнений
Умножим первое уравнение на (-2)
Решаем систему
получаем 0 = - 13.
Система решений не имеет, так ка 0 не равен (-13).
Ответ: решений нет.
Пример 4. Решите систему уравнений
Замечаем, что все коэффициенты второго уравнения делятся на 3,
давайте разделим второе уравнение на три и мы получаем систему, которая состоит из двух одинаковых уравнений.
Эта система имеет бесконечно много решений, так как первое и второе уравнения одинаковы (мы получили всего одно уравнение с двумя переменными). Как же представить решение этой системы? Давайте выразим переменную у из уравнения х + у = 5. Получим у = 5 – х.
Тогда ответ запишется так: (х; 5-х), х – любое число.
Мы рассмотрели решение систем уравнений способом сложения. Если остались вопросы или что – то непонятно запишитесь на урок и мы с вами устраним все проблемы.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
ОГБОУ «Центр образования для детей с особыми образовательными потребностями г. Смоленска»
Центр дистанционного образования
Урок алгебры в 7 классе
Тема урока: Метод алгебраического сложения.
- Тип урока: Урок первичного предъявления новых знаний.
Цель урока: контроль уровня усвоения знаний и умений решения систем уравнений способом подстановки; формирование умений и навыков решения систем уравнений способом сложения.
Задачи урока:
Предметные: научиться выполнять решения систем уравнений с двумя переменными методом сложения.
Метапредметные: Познавательные УУД : анализировать (выделять главное), определять понятия, обобщать, делать выводы. Регулятивные УУД : определять цель, проблему в учебной деятельности. Коммуникативные УУД : излагать своё мнение, аргументируя его. Личностные УУД: ф ормировать положительную мотивацию к обучению, создавать позитивное эмоциональное отношение обучающегося к уроку и предмету.
Форма работы: индивидуальная
Этапы урока:
1) Организационный этап.
организовать работу обучающейся по теме через создание установки на целостность мышления и понимание данной темы.
2. Опрос обучающейся по заданному на дом материалу, актуализация знаний.
Цель: проверить знания обучающейся, полученные в ходе выполнения домашней работы, выявить ошибки, сделать работу над ошибками. Повторить материал прошлого урока.
3. Изучение нового материала.
1). формировать умение решать системы линейных уравнений способом сложения;
2). развивать и совершенствовать имеющиеся знания в новых ситуациях;
3). воспитывать навыки контроля и самоконтроля, развивать самостоятельность.
http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html
Цель: сохранение зрения, снятие усталости с глазво время работы на уроке.
5. Закрепление изученного материала
Цель: проверить знания, умения и навыки, полученные на уроке
6. Итог урока, информация о домашнем задании, рефлексия.
Ход урока (работа в электронном документе Google):
1. Сегодня урок я хотела начать с философской загадки Вальтера.
Что самое быстрое, но и самое медленное, самое большое, но и самое маленькое, самое продолжительное и короткое, самое дорогое, но и дешево ценимое нами?
Время
Вспомним основные понятия по теме:
Перед нами система двух уравнений.
Вспомним, как мы решали системы уравнений на прошлом уроке.
Методом подстановки
Еще раз обрати внимание на решенную систему и скажи, почему мы не можем решить каждое уравнение системы не прибегая к методу подстановки?
Потому что это - уравнения системы с двумя переменными. Мы умеем решать уравнение только с одной переменной.
Только получив уравнение с одной переменной нам удалось решить систему уравнений.
3. Мы приступаем к решению следующей системы:
Выберем уравнение, в котором удобно одну переменную выразить через другую.
Такого уравнения нет.
Т.е. в данной ситуации нам не подходит изученный ранее метод. Какой выход из данной ситуации?
Найти новый метод.
Попытаемся сформулировать цель урока.
Научиться решать системы новым методом.
Что нам необходимо сделать, чтобы научиться решать системы новым методом?
знать правила (алгоритм) решения системы уравнения, выполнить практические задания
Приступим к выведению нового метода.
Обрати внимание на вывод, который мы сделали после решения первой системы. Решить систему удалось только после того, как мы получили линейное уравнение с одной переменной.
Посмотри на систему уравнений и подумай, как из двух данных уравнений получить одно уравнение с одной переменной.
Сложить уравнения.
Что значит сложить уравнения?
По отдельности составить сумму левых частей, сумму правых частей уравнений и полученные суммы приравнять.
Попробуем. Работаем вместе со мной.
13x+14x+17y-17y=43+11
Получили линейное уравнение с одной переменной.
Решили систему уравнений?
Решение системы - пара чисел.
Как найти у?
Найденное значение х подставить в уравнение системы.
Имеет значение, в какое уравнение подставим значение х?
Значит найденное значение х можно подставить в...
любое уравнение системы.
Мы познакомились с новым методом - методом алгебраического сложения.
Решая систему, мы проговорили алгоритм решения системы данным методом.
Алгоритм мы рассмотрели. Теперь применим его к решению задач.
Умение решать системы уравнений может пригодится в практике.
Рассмотрим задачу:
В хозяйстве имеются куры и овцы. Сколько тех и других, если у них вместе 19 голов и 46 ног?
Зная, что всего кур и овец 19, составим первое уравнение: х + у =19
4х - число ног у овец
2у - число ног у кур
Зная, что всего 46 ног, составим второе уравнение: 4х + 2у =46
Составим систему уравнений:
Решим систему уравнений, применяя алгоритм решения методом сложения.
Проблема! Коэффициенты перед х и у - не равные и не противоположные! Что же делать?
Рассмотрим ещё один пример!
Добавим в наш алгоритм ещё один шаг и поставим его на первое место: Если коэффициенты перед переменными- не одинаковые и не противоположные, то надо уравнять модули при какой-нибудь переменной! А далее уже будем действовать по алгоритму.
4. Электронная физкультминутка для глаз: http://zhakulina20090612.blogspot.ru/2011/06/blog-post_25.html
5. Дорешаем задачу методом алгебраического сложения, закрепив новый материал и узнаем, сколько же кур и овец было в хозяйстве.
Дополнительные задания:
6. 
Рефлексия.
Я за свою работу на уроке ставлю оценку - …
6. Использованные ресурсы-интернет:
сервисы Google для образования
Учитель математики Соколова Н. Н.